1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а его медиана, проведенная к основанию, равна 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Решение:

1. Найдём основание равнобедренного треугольника:

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также и высотой. Она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), медианой (катет) и половиной основания (катет).

По теореме Пифагора:

• \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
• \[ 5^2 + (\frac{b}{2})^2 = 13^2 \]
• \[ 25 + (\frac{b}{2})^2 = 169 \]
• \[ (\frac{b}{2})^2 = 169 - 25 \]
• \[ (\frac{b}{2})^2 = 144 \]
• \[ \frac{b}{2} = \sqrt{144} \]
• \[ \frac{b}{2} = 12 \]
• \[ b = 12 \times 2 = 24 \]

Основание треугольника равно 24 см.

2. Найдём периметр треугольника:

Периметр — это сумма длин всех сторон.

• \[ P = a + a + b \]
• \[ P = 13 + 13 + 24 \]
• \[ P = 50 \]

Периметр треугольника равен 50 см.

3. Найдём площадь треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (медиану).

• \[ S = \frac{1}{2} \times b \times h \]
• \[ S = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 \]
• \[ S = 12 \times 5 \]
• \[ S = 60 \]

Площадь треугольника равна 60 см².

Ответ: Периметр равен 50 см, площадь равна 60 см².