1. Через точку C окружности, проведена касательная MN и хорда CD. Чему равна градусная мера ∠MCD, если ∠COD = 110°?

Задание 1. Касательная и хорда

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательная MN.
• Хорда CD.
• \( \angle COD = 110^\circ \).

Найти: градусную меру \( \angle MCD \).

Решение:

1. Угол \( \angle COD \) — центральный, опирается на дугу CD. Следовательно, градусная мера дуги CD равна 110°.
2. Касательная MN перпендикулярна радиусу OC, который является частью диаметра, проходящего через точку C. Поэтому \( \angle OCN = 90^\circ \).
3. Угол \( \angle OCD \) — равнобедренный треугольник OCD (OC=OD — радиусы), поэтому \( \angle OCD = \angle ODC \).
4. \( \angle OCD = \angle ODC = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \).
5. Теперь найдём \( \angle MCD \). Мы знаем, что \( \angle OCN = 90^\circ \) и \( \angle OCD = 35^\circ \).
6. \( \angle MCD = \angle OCN - \angle OCD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).

Ответ: 55°.