3. В окружности с центром О проведен диаметр АВ=8,4см, пересекающий хорду CD в точке К, причем К середина хорды. Угол между диаметром и радиусом равен 30°. Найдите длину хорды CD и периметр ΔCOD.

Задание 3. Хорда и диаметр

Дано:

• Окружность с центром O.
• Диаметр \( AB = 8.4 \) см.
• Хорда CD, пересекающая AB в точке K.
• K — середина хорды CD.
• \( \angle COK = 30^\circ \).

Найти: длину хорды CD и периметр \( \Delta COD \).

Решение:

1. Радиус окружности \( R = \frac{AB}{2} = \frac{8.4}{2} = 4.2 \) см.
2. \( OC = OD = R = 4.2 \) см.
3. Треугольник COD — равнобедренный (OC = OD).
4. OK — высота, проведенная к основанию CD, и медиана (так как K — середина CD).
5. В прямоугольном треугольнике \( \Delta COK \):
• \( \angle COK = 30^\circ \) (дано).
• \( OC = 4.2 \) см (радиус).
• Найдем CK: \( CK = OC × \sin(\angle COK) = 4.2 × \sin(30^\circ) = 4.2 × 0.5 = 2.1 \) см.
• Найдем OK: \( OK = OC × \cos(\angle COK) = 4.2 × \cos(30^\circ) = 4.2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2.1\sqrt{3} \) см.
6. Длина хорды CD = 2 * CK = 2 * 2.1 = 4.2 см.
7. Периметр \( \Delta COD = OC + OD + CD = 4.2 + 4.2 + 4.2 = 3 × 4.2 = 12.6 \) см.

Ответ: длина хорды CD равна 4.2 см, периметр \( \Delta COD \) равен 12.6 см.