1. Четырехугольники. Виды четырехугольников. Определения. 2. Теорема о площади треугольника (с доказательством). Следствие. 3. Задача.

Билет №7

1. Четырёхугольники — это многоугольники с четырьмя сторонами и четырьмя углами.
• Виды четырёхугольников:
  • Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
  • Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
  • Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (является частным случаем прямоугольника и ромба).
  • Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно две стороны параллельны.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Теорема о площади треугольника: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
• Формула: \( S = \frac{1}{2} a h_a \)
• Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Проведём высоту BH к основанию AC. Через вершину B проведём прямую MN, параллельную AC. Опустим из B перпендикуляр BH на AC, а значит, и на MN. Треугольник ABH равен треугольнику CMN (по гипотенузе и острому углу: AB = CN, \(\angle BAH = \angle BCN\) — как накрест лежащие, \(\angle AHB = \angle CNM = 90^{\circ}\)). Тогда площадь треугольника ABH равна площади треугольника CMN. Площадь прямоугольника ACNM равна произведению основания AC на высоту BH: \( S_{ACNM} = AC \cdot BH \). Площадь треугольника ABC равна половине площади прямоугольника ACNM: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ACNM} = \frac{1}{2} AC \cdot BH \).
• Следствие: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \( S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \).
3. Задача.