1. Четырёхугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы \(\vec m=\overrightarrow{MK}\) и \(\vec n=\overrightarrow{KP}\) векторы \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MP}\), \(\overrightarrow{KA}\), где A — точка на стороне PN, такая, что PA:AN = 2:5; B — середина отрезка MN.

Положим начало отсчёта в точке M. Тогда \(\overrightarrow{MK}=\vec m\), \(\overrightarrow{KP}=\vec n\). Из свойства параллелограмма \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KP}=\vec n\), поэтому \(\overrightarrow{MP}=\vec m+\vec n\).

Так как \(PA:AN=2:5\), точка A делит PN в отношении 2:5, считая от P. Следовательно, \(\overrightarrow{PA}=\frac{2}{7}\overrightarrow{PN}=-\frac{2}{7}\vec m\). Поэтому \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PA}=\frac{5}{7}\vec m+\vec n\).

Поскольку B — середина MN, \(\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\vec n\). Тогда \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=-\frac{5}{7}\vec m-\frac{1}{2}\vec n\).

\(\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA}=-\vec m+\frac{5}{7}\vec m+\vec n=-\frac{2}{7}\vec m+\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\frac{5}{7}\vec m+\vec n\); \(\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{7}\vec m-\frac{1}{2}\vec n\); \(\overrightarrow{MP}=\vec m+\vec n\); \(\overrightarrow{KA}=-\frac{2}{7}\vec m+\vec n\).