1. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\frac{a^2b^2}{a^4-6b^4}=1$. Найдите значение выражения $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\frac{a^2b^2}{a^4-6b^4}=1$. Найдите значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Из равенства следует, что знаменатель не равен нулю и

\[a^2b^2=a^4-6b^4.\]

При $b=0$ это равенство даёт $a=0$, но тогда исходная дробь не определена. Значит, $b\ne0$. Обозначим $x=\frac{a^2}{b^2}$. Тогда $x=x^2-6$, поэтому

\[x^2-x-6=0,\qquad (x-3)(x+2)=0.\]

Так как $x\ge0$, получаем $x=3$. Искомое значение:

\[\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{x-1}{x+1}=\frac{3-1}{3+1}=\frac12.\]

Ответ: $\frac12$.

1. Числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют равенству \(\frac{a^2b^2}{a^4-6b^4}=1\). Найдите значение выражения \(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\).