1. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю — 28, то она увеличится на 1/5. Найдите эту дробь.

Пошаговое решение:

• Обозначим числитель дроби как x, а знаменатель как y.
• По условию задачи, числитель на 4 меньше знаменателя:
• \[ y = x + 4 \]
• Если к числителю прибавить 19, а к знаменателю — 28, то дробь увеличится на 1/5. Запишем это как уравнение:
• \[ \frac{x + 19}{y + 28} = \frac{x}{y} + \frac{1}{5} \]
• Подставим первое уравнение (y = x + 4) во второе:
• \[ \frac{x + 19}{(x + 4) + 28} = \frac{x}{x + 4} + \frac{1}{5} \]
• \[ \frac{x + 19}{x + 32} = \frac{x}{x + 4} + \frac{1}{5} \]
• Приведем все к общему знаменателю и решим полученное уравнение:
• \[ \frac{x + 19}{x + 32} - \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{5} \]
• \[ \frac{(x + 19)(x + 4) - x(x + 32)}{(x + 32)(x + 4)} = \frac{1}{5} \]
• \[ \frac{x^2 + 4x + 19x + 76 - x^2 - 32x}{x^2 + 4x + 32x + 128} = \frac{1}{5} \]
• \[ \frac{-9x + 76}{x^2 + 36x + 128} = \frac{1}{5} \]
• \[ 5(-9x + 76) = x^2 + 36x + 128 \]
• \[ -45x + 380 = x^2 + 36x + 128 \]
• \[ x^2 + 36x + 45x + 128 - 380 = 0 \]
• \[ x^2 + 81x - 252 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = 81^2 - 4(1)(-252) = 6561 + 1008 = 7569 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87 \]
• Находим значения x:
• \[ x_1 = \frac{-81 + 87}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \]
• \[ x_2 = \frac{-81 - 87}{2(1)} = \frac{-168}{2} = -84 \]
• Поскольку числитель дроби не может быть отрицательным в данном контексте, выбираем x = 3.
• Найдем знаменатель y:
• \[ y = x + 4 = 3 + 4 = 7 \]
• Исходная дробь:
• \[ \frac{3}{7} \]

Ответ: 3/7