Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь…Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение: Скорость теплохода по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения, а против течения — разности. Общее время в пути — сумма времени движения по течению и против течения.

Пошаговое решение:

  • Обозначим скорость течения реки как 'v' км/ч.
  • Собственная скорость теплохода = 18 км/ч.
  • Скорость теплохода по течению: \( 18 + v \) км/ч.
  • Скорость теплохода против течения: \( 18 - v \) км/ч.
  • Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{50}{18 + v} \) ч.
  • Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{8}{18 - v} \) ч.
  • Общее время в пути равно 3 часам:
    • \[ t_1 + t_2 = 3 \]
    • \[ \frac{50}{18 + v} + \frac{8}{18 - v} = 3 \]
  • Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:
    • \[ \frac{50(18 - v) + 8(18 + v)}{(18 + v)(18 - v)} = 3 \]
    • \[ \frac{900 - 50v + 144 + 8v}{324 - v^2} = 3 \]
    • \[ \frac{1044 - 42v}{324 - v^2} = 3 \]
    • \[ 1044 - 42v = 3(324 - v^2) \]
    • \[ 1044 - 42v = 972 - 3v^2 \]
    • \[ 3v^2 - 42v + 1044 - 972 = 0 \]
    • \[ 3v^2 - 42v + 72 = 0 \]
    • Разделим всё уравнение на 3:
      • \[ v^2 - 14v + 24 = 0 \]
    • Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Найдем корни:
      • \[ (v - 12)(v - 2) = 0 \]
      • \[ v_1 = 12 \]
      • \[ v_2 = 2 \]
    • Проверим оба варианта.
    • Если \( v = 12 \) км/ч:
      • Время по течению: \( \frac{50}{18 + 12} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \) ч.
      • Время против течения: \( \frac{8}{18 - 12} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) ч.
      • Общее время: \( \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3 \) ч. Это подходит.
    • Если \( v = 2 \) км/ч:
      • Время по течению: \( \frac{50}{18 + 2} = \frac{50}{20} = 2.5 \) ч.
      • Время против течения: \( \frac{8}{18 - 2} = \frac{8}{16} = 0.5 \) ч.
      • Общее время: \( 2.5 + 0.5 = 3 \) ч. Это также подходит.
    • Внимательно перечитаем условие: «Теплоход ... прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения». Скорость против течения должна быть меньше скорости по течению.
    • При \( v = 12 \) км/ч, скорость по течению = 30 км/ч, против течения = 6 км/ч.
    • При \( v = 2 \) км/ч, скорость по течению = 20 км/ч, против течения = 16 км/ч.
    • Оба варианта удовлетворяют условию времени. Однако, часто в таких задачах подразумевается, что скорость течения меньше собственной скорости, чтобы движение против течения было возможным. Оба ответа математически верны. В контексте типичных задач, \( v = 2 \) км/ч является более вероятным решением, но \( v = 12 \) км/ч также математически корректен. Для однозначности, перепроверим условие. Скорость против течения \( 18 - v \) должна быть положительной, что выполняется для обоих \( v \).
    • Учитывая, что задача может иметь один ответ, и \( v = 2 \) км/ч дает более