1. Дан куб ABCD A₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AB, точка L — ребру CD. При этом AK : KB = 1 : 3, CL : LD = 1 : 4. Проведена прямая KL. Используя рисунок, ответьте на вопросы: а) Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A₁D₁D. б) Найдите точку пересечения прямых KL и BC. в) Укажите линию пересечения плоскостей ABC и B₁EF. г) Найдите длину отрезка B₁K. д) Вычислите длину отрезка KL. е) Найдите длину отрезка BF.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\).

Так как \(AK:KB=1:3\), то \(AK=\frac a4\). Поэтому \(K\left(\frac a4,0,0\right)\).

Так как \(CL:LD=1:4\), то \(CL=\frac a5\), а \(LD=\frac{4a}{5}\). Поэтому \(L\left(\frac{4a}{5},a,0\right)\).

1. Продолжение прямой \(KL\) пересекает плоскость \(A_1D_1D\) в точке \(E\).

2. Продолжение прямой \(KL\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(F\).

3. Плоскости \(ABC\) и \(B_1EF\) имеют общую прямую \(EF\), поэтому линия их пересечения — \(EF\).

4. В треугольнике \(B_1BK\): \(BB_1=a\), \(BK=a-AK=\frac{3a}{4}\), угол \(BB_1K\) прямой. По теореме Пифагора:

   \[B_1K=\sqrt{a^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{25a^2}{16}}=\frac{5a}{4}.\]

5. Разность координат точек \(K\) и \(L\): \(\frac{4a}{5}-\frac a4=\frac{11a}{20}\), а расстояние по второму направлению равно \(a\). Поэтому:

   \[KL=\sqrt{a^2+\left(\frac{11a}{20}\right)^2}=\frac{a\sqrt{521}}{20}.\]

6. Уравнение прямой \(KL\) в основании куба показывает, что при \(x=a\) координата второй точки равна \(y=\frac{15a}{11}\). Следовательно, \(BF=\frac{15a}{11}\).

Ответ: а) E; б) F; в) EF; г) \(B_1K=\frac{5a}{4}\); д) \(KL=\frac{a\sqrt{521}}{20}\); е) \(BF=\frac{15a}{11}\).