1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите параллельность прямых AB₁ и DC₁.

В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны, поэтому \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}\).

По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}\),

\(\overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DC_1}\), а значит, прямые \(AB_1\) и \(DC_1\) параллельны.