1. Дан прямоугольный параллелепипед А₁B1C1D1ABCD, M лежит на ребре АВ и делит в отношении АМ:MB=1:2, N лежит на ребре D1C1 и делит в отношении D₁N:NC1=2:1, T точка пересечения ВС1 и В1С. Выразить через векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \), \( \vec{AD} = \vec{b} \), \( \vec{AA_1} = \vec{c} \) векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{TD_1} \).

Решение:

1. Введём систему координат. Пусть \( A = (0,0,0) \). Тогда \( B = (a,0,0) \), \( D = (0,b,0) \), \( A_1 = (0,0,c) \).
2. Координаты точек:
• \( M \) делит \( AB \) в отношении \( 1:2 \), значит \( M = \frac{2A + 1B}{1+2} = \frac{2(0,0,0) + 1(a,0,0)}{3} = (\frac{a}{3}, 0, 0) \).
• \( N \) делит \( D_1C_1 \) в отношении \( 2:1 \). \( D_1 = (0,b,c) \), \( C_1 = (a,b,c) \). \( N = \frac{1D_1 + 2C_1}{2+1} = \frac{1(0,b,c) + 2(a,b,c)}{3} = (\frac{2a}{3}, \frac{3b}{3}, \frac{3c}{3}) = (\frac{2a}{3}, b, c) \).
• \( T \) — точка пересечения \( BC_1 \) и \( B_1C \).
• Прямая \( BC_1 \): \( r = B + t(C_1 - B) = (a,0,0) + t((a,b,c) - (a,0,0)) = (a,0,0) + t(0,b,c) = (a, tb, tc) \).
• Прямая \( B_1C \): \( r = B_1 + u(C - B_1) = (a,0,c) + u((a,b,0) - (a,0,c)) = (a,0,c) + u(0,b,-c) = (a, ub, c - uc) \).
• Приравнивая координаты: \( tb = ub \Rightarrow t = u \). \( tc = c - uc \Rightarrow t = 1 - u \). \( t = 1 - t \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = 1/2 \). \( u = 1/2 \).
• \( T = (a, \frac{1}{2}b, \frac{1}{2}c) \).
3. Векторы:
• \( \vec{MN} = N - M = (\frac{2a}{3}, b, c) - (\frac{a}{3}, 0, 0) = (\frac{a}{3}, b, c) \).
• \( \vec{TD_1} = D_1 - T = (0,b,c) - (a, \frac{1}{2}b, \frac{1}{2}c) = (-a, \frac{1}{2}b, \frac{1}{2}c) \).

Ответ: \( \vec{MN} = (\frac{1}{3}\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \), \( \vec{TD_1} = (-\vec{a}, \frac{1}{2}\vec{b}, \frac{1}{2}\vec{c}) \).