3. Найти значение выражения \( (2\vec{a} – 3\vec{b})(5\vec{b} + 3\vec{a}) \), где \( \vec{a} = 3\vec{m} – \vec{n} \), \( \vec{b} = 4\vec{n} + 3\vec{m} \), \( |\vec{n}| = 5 \), \( |\vec{m}| = 2 \) и угол между векторами \( \vec{n} \) и \( \vec{m} \) равен 30°.

Решение:

1. Раскроем скобки в выражении \( (2\vec{a} – 3\vec{b})(5\vec{b} + 3\vec{a}) \):
• \( (2\vec{a} – 3\vec{b})(5\vec{b} + 3\vec{a}) = 2\vec{a} \cdot 5\vec{b} + 2\vec{a} \cdot 3\vec{a} - 3\vec{b} \cdot 5\vec{b} - 3\vec{b} \cdot 3\vec{a} \)
• \( = 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 - 9(\vec{b} \cdot \vec{a}) \)
• \( = 6|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
2. Вычислим \( \vec{a} \cdot \vec{b} \), \( |\vec{a}|^2 \) и \( |\vec{b}|^2 \).
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (4\vec{n} + 3\vec{m}) \)
• \( = (3\vec{m} \cdot 4\vec{n}) + (3\vec{m} \cdot 3\vec{m}) - (\vec{n} \cdot 4\vec{n}) - (\vec{n} \cdot 3\vec{m}) \)
• \( = 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{m}|^2 - 4|\vec{n}|^2 - 3(\vec{n} \cdot \vec{m}) \)
• \( = 9(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{m}|^2 - 4|\vec{n}|^2 \)
• \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 9(5\sqrt{3}) + 9(2^2) - 4(5^2) = 45\sqrt{3} + 9(4) - 4(25) = 45\sqrt{3} + 36 - 100 = 45\sqrt{3} - 64 \).
• \( |\vec{a}|^2 = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n}) = 9|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 \)
• \( = 9(2^2) - 6(5\sqrt{3}) + 5^2 = 9(4) - 30\sqrt{3} + 25 = 36 - 30\sqrt{3} + 25 = 61 - 30\sqrt{3} \).
• \( |\vec{b}|^2 = (4\vec{n} + 3\vec{m}) \cdot (4\vec{n} + 3\vec{m}) = 16|\vec{n}|^2 + 24(\vec{n} \cdot \vec{m}) + 9|\vec{m}|^2 \)
• \( = 16(5^2) + 24(5\sqrt{3}) + 9(2^2) = 16(25) + 120\sqrt{3} + 9(4) = 400 + 120\sqrt{3} + 36 = 436 + 120\sqrt{3} \).
3. Подставим найденные значения в исходное выражение:
• \( 6|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6(61 - 30\sqrt{3}) - 15(436 + 120\sqrt{3}) + (45\sqrt{3} - 64) \)
• \( = 366 - 180\sqrt{3} - 6540 - 1800\sqrt{3} + 45\sqrt{3} - 64 \)
• \( = (366 - 6540 - 64) + (-180 - 1800 + 45)\sqrt{3} \)
• \( = -6238 - 1935\sqrt{3} \).

Ответ: \( -6238 - 1935\sqrt{3} \).