1. Дана плоскость L и точка A, не лежащая в этой плоскости. Доказать, что через точку A можно провести плоскость параллельную данной и только одну.

Проведём в плоскости L две пересекающиеся прямые p и q. Через A проведём прямые p′ и q′ так, чтобы p′ ∥ p и q′ ∥ q. Пересекающиеся прямые p′ и q′ определяют плоскость α.

Так как α содержит прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым плоскости L, то α ∥ L. Значит, через A существует плоскость, параллельная L.

Для единственности предположим, что через A проходят две разные плоскости, параллельные L. По теореме о единственности параллельной прямой в плоскости каждая из них должна содержать построенные через A прямые p′ и q′. Но две пересекающиеся прямые задают только одну плоскость. Получаем противоречие.

Следовательно, через A проходит единственная плоскость, параллельная L.