2. Из вершины A равностороннего треугольника ABC восстановлен перпендикуляр AD к плоскости ABC. Найти расстояние от D до стороны BC, если AD = 13 см, BC = 6 см.

Пусть H — основание перпендикуляра из A к стороне BC. В равностороннем треугольнике AH является высотой, поэтому H лежит на BC, а AH ⟂ BC. Также AD ⟂ плоскости ABC, следовательно, AD ⟂ BC.

Поскольку BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и AH, лежащим в плоскости ADH, то BC ⟂ плоскости ADH. Значит, DH ⟂ BC, и расстояние от D до стороны BC равно DH.

В равностороннем треугольнике высота делит сторону пополам: BH = 3 см. По теореме Пифагора в треугольнике ABH:

AH² = AB² − BH² = 6² − 3² = 27, поэтому AH = 3√3 см.

Треугольник ADH прямоугольный при A, поэтому:

DH² = AD² + AH² = 13² + (3√3)² = 169 + 27 = 196, значит DH = 14 см.

Ответ: 14 см.