1. Дано: a || b, c – секущая, ∠1 – ∠2 = 102°. Найти: все образовавшиеся углы. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°. Найти: ∠4.

Решение:

1.1. Дано: a || b, c – секущая, ∠1 – ∠2 = 102°.

Углы ∠1 и ∠2 — смежные, поэтому их сумма равна 180°.

Пусть ∠2 = x, тогда ∠1 = x + 102°.

\( x + (x + 102°) = 180° \)

\( 2x = 180° - 102° \)

\( 2x = 78° \)

\( x = 39° \)

Значит, ∠2 = 39°.

∠1 = 180° - 39° = 141°.

Углы ∠1 и ∠3 — накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c. Так как прямые параллельны, то ∠1 = ∠3. Следовательно, ∠3 = 141°.

Углы ∠2 и ∠4 — накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c. Так как прямые параллельны, то ∠2 = ∠4. Следовательно, ∠4 = 39°.

Вертикальные углы равны.

Вертикальный к ∠1 равен 141°.

Вертикальный к ∠2 равен 39°.

Вертикальный к ∠3 равен 141°.

Вертикальный к ∠4 равен 39°.

Ответ: 141°, 39°, 141°, 39°.

1.2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°.

На рисунке видно, что ∠3 и ∠1 — соответственные углы при пересечении прямых b и a секущей c. Если бы прямые a и b были параллельны, то ∠1 = ∠3. Но ∠1 = ∠2, и ∠3 = 140°, а ∠1 и ∠2, судя по рисунку, острые. Если ∠1 = ∠2, и они являются накрест лежащими при параллельных прямых b и a, то прямые параллельны. Но если ∠3 = 140°, то ∠1 = 140° (соответственные). Тогда ∠2 = 140°. Углы ∠1 и ∠2 на рисунке смежные, а не накрест лежащие. Если ∠1 и ∠2 смежные, то ∠1 + ∠2 = 180°. Но по условию ∠1 = ∠2, что невозможно.

Предполагая, что на рисунке ∠3 и ∠4 — это углы, образованные секущей с прямой a, и ∠1 и ∠2 — углы, образованные секущей с прямой b, и что ∠1 и ∠2 являются смежными, а ∠3 и ∠4 — также углы.

Исходя из рисунка, если ∠1 и ∠2 — смежные, то ∠1 + ∠2 = 180°. Если ∠1 = ∠2, то ∠1 = ∠2 = 90°. Это противоречит рисунку.

Если предположить, что ∠1 и ∠2 — это пара накрест лежащих углов, а ∠3 — соответственный угол, то из ∠1 = ∠2 следует, что прямые параллельны. Но ∠3 = 140°. Угол, соответствующий ∠3, будет 140°. Угол ∠1 будет равен 140°.

По условию ∠1 = ∠2. Если ∠3 = 140°, и ∠3 является внешним накрест лежащим по отношению к ∠1 (то есть, ∠1 = 180° - 140° = 40°), то ∠2 = 40°. Тогда ∠4 будет смежным с ∠1. ∠4 = 180° - 40° = 140°.

Ответ: ∠4 = 140°.