1) Дано: ∠ABC = ∠CDE. Доказать: AB = BC = CD = DE. 2) Дано: AB = BC = CD = DE. Доказать: ∠ABC = ∠CDE.

Решение:

1) Доказательство: AB = BC = CD = DE

1. На рисунке изображены окружность и точки A, B, C, D, E на ней, образующие углы.
2. Дано: \( \angle ABC = \angle CDE \). Эти углы являются вписанными углами, опирающимися на дуги AC и CE соответственно.
3. Равные вписанные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга AC = дуга CE.
4. Если дуга AC = дуга CE, то хорды, стягивающие эти дуги, также равны: AB = BC и CD = DE.
5. Однако, чтобы доказать AB = BC = CD = DE, нам нужно больше информации. Из равенства \( \angle ABC = \angle CDE \) следует, что дуга AC = дуга CE. Это означает, что хорды AB и BC могут быть не равны.
6. Рассмотрим углы, опирающиеся на хорды.
7. \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирается на дугу AC.
8. \( \angle CDE \) — вписанный угол, опирается на дугу CE.
9. Если \( \angle ABC = \angle CDE \), то дуга AC = дуга CE.
10. Хорда, стягивающая дугу AC, равна AB. Хорда, стягивающая дугу CE, равна CD.
11. Если дуга AC = дуга CE, то хорды AB и BC не обязательно равны, и хорды CD и DE не обязательно равны.
12. Чтобы доказать \( AB = BC = CD = DE \), нам нужно, чтобы все хорды были равны. Это означает, что все дуги, на которые они опираются, должны быть равны.
13. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. \( \angle BCD \) опирается на дугу BD. \( \angle CDE \) опирается на дугу CE.
14. Если \( \angle ABC = \angle CDE \), то дуга AC = дуга CE.
15. Для равенства всех хорд \( AB = BC = CD = DE \) нужно, чтобы все дуги \( \widehat{AB} = \widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE} \).
16. Это означает, что \( \angle ACB = \angle BDC = \angle CED = \angle DAE \).
17. Или \( \angle ADB = \angle BEC = \angle CFA = \angle DAG \) (центральные углы).
18. Из данного условия \( \angle ABC = \angle CDE \) не следует, что \( AB = BC = CD = DE \).
19. Предположим, что все хорды равны, тогда все дуги равны, и все вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
20. Если \( AB = BC = CD = DE \), то дуга AB = дуга BC = дуга CD = дуга DE.
21. Тогда \( \angle ACB = \angle BDC = \angle CED = \angle DAE \) (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).
22. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. \( \angle CDE \) опирается на дугу CE.
23. Если \( AB = BC \), то дуга AB = дуга BC. Тогда дуга AC = 2 * дуга AB.
24. Если \( CD = DE \), то дуга CD = дуга DE. Тогда дуга CE = 2 * дуга CD.
25. Если \( AB = BC = CD = DE \), то дуга AB = дуга BC = дуга CD = дуга DE.
26. Тогда дуга AC = дуга AB + дуга BC = 2 * дуга AB.
27. И дуга CE = дуга CD + дуга DE = 2 * дуга CD.
28. Если дуга AB = дуга CD, то дуга AC = дуга CE.
29. Если дуга AC = дуга CE, то вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. \( \angle ADC \) опирается на дугу AC. \( \angle CDE \) опирается на дугу CE. \( \angle CBE \) опирается на дугу CE.
30. Если дуга AC = дуга CE, то \( \angle ABC \) (опирающийся на дугу AC) и \( \angle CDE \) (опирающийся на дугу CE) не обязательно равны.
31. Для доказательства \( AB = BC = CD = DE \) из \( \angle ABC = \angle CDE \) нам нужно, чтобы эти углы были связаны с равенством хорд.
32. Поскольку \( \angle ABC \) и \( \angle CDE \) — вписанные углы, их равенство означает, что дуги \( \widehat{AC} \) и \( \widehat{CE} \) равны.
33. Если \( \widehat{AC} = \widehat{CE} \), то хорда, стягивающая \( \widehat{AC} \) (это AB), и хорда, стягивающая \( \widehat{CE} \) (это CD), могут быть не равны.
34. Чтобы доказать \( AB = BC = CD = DE \), нам нужно, чтобы все хорды были равны. Это возможно, если углы \( \angle ACB \) и \( \angle BDC \) и так далее равны, что означает равенство дуг \( \widehat{AB} = \widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE} \).
35. Таким образом, первое утверждение не следует из данного условия.

2) Доказательство: ∠ABC = ∠CDE

1. Дано: \( AB = BC = CD = DE \) (хорды равны).
2. Равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, \( \widehat{AB} = \widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE} \).
3. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
4. \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \widehat{AC} \).
5. Дуга \( \widehat{AC} = \widehat{AB} + \widehat{BC} \).
6. \( \angle CDE \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \widehat{CE} \).
7. Дуга \( \widehat{CE} = \widehat{CD} + \widehat{DE} \).
8. Так как \( \widehat{AB} = \widehat{BC} = \widehat{CD} = \widehat{DE} \), то \( \widehat{AC} = \widehat{AB} + \widehat{BC} = 2 \widehat{AB} \).
9. И \( \widehat{CE} = \widehat{CD} + \widehat{DE} = 2 \widehat{CD} \).
10. Поскольку \( \widehat{AB} = \widehat{CD} \), то \( \widehat{AC} = \widehat{CE} \).
11. Теперь рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на эти дуги.
12. \( \angle ABC \) опирается на дугу \( \widehat{AC} \).
13. \( \angle ADC \) опирается на дугу \( \widehat{AC} \). \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).
14. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BAC \) (так как \( \widehat{AB} = \widehat{CD} \), то \( \angle ACB = \angle BDC = \angle DAC = \angle DBA \)).
15. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. \( \angle ADC \) опирается на дугу AC. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ADC \) — это неверно. \( \angle ADC \) опирается на дугу AC.
16. \( \angle ABC \) опирается на дугу \( \widehat{AC} \).
17. \( \angle ADC \) опирается на дугу \( \widehat{AC} \).
18. \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. \( \angle ADC \) опирается на дугу AC.
19. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \widehat{AC} \).
20. \( \angle ADC \) = \( \frac{1}{2} \widehat{AC} \).
21. \( \angle CDE \) опирается на дугу \( \widehat{CE} \). \( \angle CDE = \frac{1}{2} \widehat{CE} \).
22. Так как \( \widehat{AC} = \widehat{CE} \), то \( \frac{1}{2} \widehat{AC} = \frac{1}{2} \widehat{CE} \).
23. Следовательно, \( \angle ABC = \angle CDE \).

Ответ: 1) Из данного условия не следует AB = BC = CD = DE. 2) Доказано.