1. Дано: ∠AMC = 229°, BC = 29°, O - центр окружности. Найти: ∠AB, ∠α, ∠β.

Решение:

1. Центральный угол ∠AOC равен градусной мере дуги AC. Дуга ABC = 360° - 229° = 131°.
2. Угол ∠AOC = 131°.
3. Рассмотрим треугольник AOC. OA = OC (радиусы), следовательно, треугольник равнобедренный.
4. ∠OAC = ∠OCA = \( (180° - 131°) / 2 \) = \( 49° / 2 \) = 24.5°.
5. ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. ∠ABC = ∠AOC / 2 = 131° / 2 = 65.5°.
6. BC — хорда. Угол ∠OBC = 33° (дано).
7. ∠AB = ∠ABC - ∠OBC = 65.5° - 33° = 32.5°.
8. Угол α — центральный, опирается на дугу BC. ∠α = ∠BOC.
9. В треугольнике OBC: OB = OC (радиусы), следовательно, треугольник равнобедренный.
10. ∠OBC = ∠OCB = 33°.
11. ∠BOC = \( 180° - (33° + 33°) \) = \( 180° - 66° \) = 114°.
12. Значит, ∠α = 114°.
13. Угол β — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
14. Дуга AB = 360° - дуга AMC - дуга BC = 360° - 229° - 29° = 102°.
15. ∠β = дуга AB / 2 = 102° / 2 = 51°.

Ответ: ∠AB = 32.5°, ∠α = 114°, ∠β = 51°.