5*. AB - общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 см и 49 см, A и B - точки касания. Найдите длину отрезка AB.

Решение:

1. Пусть R = 49 см (радиус большей окружности) и r = 25 см (радиус меньшей окружности).
2. Центры окружностей O₁ и O₂. Точки касания A (на большей окружности) и B (на меньшей окружности).
3. O₁A ⊥ AB и O₂B ⊥ AB (радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной).
4. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, так как окружности касаются внешним образом: O₁O₂ = R + r = 49 + 25 = 74 см.
5. Проведем через центр меньшей окружности O₂ прямую, параллельную AB, до пересечения с радиусом O₁A в точке C.
6. Получится прямоугольник ACO₂B, где AC = O₂B = r, CB = AO₂ = AB.
7. Отрезок O₁C = O₁A - AC = R - r = 49 - 25 = 24 см.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁CO₂ (угол O₁CO₂ = 90°).
9. По теореме Пифагора: O₁C² + CO₂² = O₁O₂².
10. CO₂² = O₁O₂² - O₁C².
11. CO₂² = 74² - 24².
12. CO₂² = (74 - 24)(74 + 24) = 50 * 98 = 4900.
13. CO₂ = \( \sqrt{4900} \) = 70 см.
14. Так как CO₂ = AB (по построению прямоугольника), то AB = 70 см.

Ответ: AB = 70 см.