1. Дано: ∠AMC = 229°, O - центр окружности. Найти: ∠AB, ∠α, ∠β.

Решение:

1. Центральный угол ∠AOC, опирающийся на дугу AC, равен 360° - 229° = 131°.

2. Так как OA и OC - радиусы, треугольник AOC — равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - 131^{\circ}}{2} = \frac{49^{\circ}}{2} = 24.5^{\circ} \)

3. Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу AC, поэтому он равен половине центрального угла ∠AOC:

\( \angle ABC = \frac{131^{\circ}}{2} = 65.5^{\circ} \)

4. В треугольнике OBC, OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.

\( \angle OBC = \angle OCB = 29^{\circ} \)

5. Угол \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC \).

\( 65.5^{\circ} = \angle OBA + 29^{\circ} \)

\( \angle OBA = 65.5^{\circ} - 29^{\circ} = 36.5^{\circ} \)

6. В равнобедренном треугольнике OAB (OA = OB — радиусы):

\( \alpha = \angle OAB = \angle OBA = 36.5^{\circ} \)

7. Угол \( \beta \) является частью угла \( \angle ABC \), но задание просит найти \( \angle AB \) и \( \angle \alpha \), \( \angle \beta \). Вероятно, \( \angle \beta \) подразумевается как \( \angle OBC \), что нам уже дано.

\( \angle OBC = 29^{\circ} \)

8. Если \( \angle AB \) означает \( \angle BAC \), то \( \angle BAC = \angle OAC \) так как точка B лежит на луче AC. Это невозможно.

Если \( \angle AB \) означает \( \angle ABC \), то \( \angle ABC = 65.5^{\circ} \).

Предполагая, что \( \angle AB \) - это \( \angle ABC \):

\( \angle ABC = 65.5^{\circ} \)

\( \alpha = 36.5^{\circ} \)

\( \beta = 29^{\circ} \)

Ответ: ∠ABC = 65.5°, α = 36.5°, β = 29°.