5*. AB - общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 и 49 см, A и B - точки касания. Найдите длину отрезка AB.

Решение:

Пусть \( r_1 = 25 \) см и \( r_2 = 49 \) см — радиусы двух касающихся окружностей. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — их центры. Отрезок \( O_1O_2 \) равен сумме радиусов, так как окружности касаются внешним образом: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 25 + 49 = 74 \) см.

\( AB \) — общая касательная, где \( A \) — точка касания с первой окружностью, а \( B \) — с второй.

Проведем радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \). Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то \( \angle O_1AB = 90^{\circ} \) и \( \angle O_2BA = 90^{\circ} \).

Четырехугольник \( O_1ABO_2 \) является трапецией с прямыми углами при основании \( AB \) (если бы \( O_1O_2 \) было основанием). Для удобства проведем линию, параллельную \( AB \), через центр меньшей окружности \( O_1 \). Опустим перпендикуляр из \( O_1 \) на \( O_2B \). Обозначим точку пересечения как \( C \).

Получится прямоугольник \( ABCO_1 \) и прямоугольный треугольник \( O_1CO_2 \).

Тогда \( AC = O_1B \) и \( AB = O_1C \).

Найдем длину отрезка \( O_2C \):

\( O_2C = O_2B - CB = O_2B - O_1A = r_2 - r_1 = 49 - 25 = 24 \) см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \( O_1CO_2 \):

\( O_1C^2 + O_2C^2 = O_1O_2^2 \)

\( O_1C^2 + 24^2 = 74^2 \)

\( O_1C^2 + 576 = 5476 \)

\( O_1C^2 = 5476 - 576 \)

\( O_1C^2 = 4900 \)

\( O_1C = \sqrt{4900} = 70 \) см.

Так как \( AB = O_1C \), то длина отрезка \( AB = 70 \) см.

Ответ: Длина отрезка AB равна 70 см.