1. Дано: BO = DO, \(\angle\) ABC = 45°, \(\angle\) BCD = 55°, \(\angle\) AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: \(\angle\) D. Доказать: \(\triangle\) ABO = \(\triangle\) CDO.

Решение:

1. Рассмотрим \(\triangle\) ABO и \(\triangle\) CDO.
2. По условию \( BO = DO \).
3. \(\angle\) AOB и \(\angle\) COD — вертикальные углы, следовательно, \( \angle AOB = \angle COD \).
4. \(\angle\) AOC = 100°, значит \( \angle AOB = 180° - \angle AOC = 180° - 100° = 80° \).
5. Таким образом, \( \angle COD = 80° \).
6. В \(\triangle\) ABO: \( \angle BAO = 180° - \angle ABC - \angle AOB = 180° - 45° - 80° = 55° \).
7. В \(\triangle\) CDO: \( \angle DCO = 180° - \angle BCD - \angle COD = 180° - 55° - 80° = 45° \).
8. По двум углам и прилежащей стороне: \( \triangle ABO = \triangle CDO \) (второй признак равенства треугольников), так как \( \angle BAO = \angle DCO \) (55°), \( \angle AOB = \angle COD \) (80°), \( BO = DO \).
9. Из равенства треугольников следует, что \( \angle BAO = \angle DCO = 55° \) и \( \angle ABO = \angle CDO = 45° \).

Ответ: \( \angle D = 45° \).