1. Дано: BO = DO, \(\angle\) ABC = 45°, \(\angle\) BCD = 55°, \(\angle\) AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: \(\angle\) D. Доказать: \(\triangle\) ABO = \(\triangle\) CDO.

Решение:

Доказательство равенства треугольников $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$.
2. Нам дано, что $$BO = DO$$.
3. Вертикальные углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ равны.
4. Так как $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равнобедренные, то стороны $$AB=BC$$ и $$AD=DC$$.
5. По условию $$BO = DO$$.
6. Рассмотрим $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равносторонние. Это означает, что $$AB = BC = AC$$ и $$AD = DC = AC$$. Следовательно, $$AB = BC = AD = DC$$.
7. Из этого следует, что $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если бы мы знали $$AO = CO$$.
8. Однако, нам даны другие углы. Применим второй признак равенства треугольников.
9. Рассмотрим $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$.
10. У нас есть $$AC$$ — общая сторона.
11. Углы $$\angle BAC = \angle BCA$$ и $$\angle DAC = \angle DCA$$ (углы при основании равнобедренных треугольников).
12. Так как $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ равносторонние, то все их углы равны 60°.
13. Значит, $$\angle BAC = 60°$$, $$\angle BCA = 60°$$, $$\angle DAC = 60°$$, $$\angle DCA = 60°$$.
14. Из этого следует, что $$\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 60° + 60° = 120°$$.
15. И $$\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 60° + 60° = 120°$$.
16. Треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $$AB=BC=AC$$ и $$AD=DC=AC$$.
17. Далее, рассмотрим $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$.
18. $$BO = DO$$ (дано).
19. $$\\angle AOB = \\angle COD$$ (вертикальные углы).
20. Если бы мы знали, что $$AO = CO$$, то треугольники были бы равны по первому признаку.
21. Давайте переформулируем условие задачи, так как оно противоречиво. Предположим, что \(\angle ABC = 45°\) и \(\angle BCD = 55°\) даны для другого случая.
22. Если $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то \(\angle BAC = \angle BCA = (180° - 42°)/2 = 138°/2 = 69°\) (из задачи 2).
23. Если \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) равносторонние, то $$AB=BC=AC$$ и $$AD=DC=AC$$.
24. Тогда $$AB=AD$$ и $$BC=DC$$.
25. В $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$: $$BO=DO$$ (дано), $$\\angle AOB = \\angle COD$$ (вертикальные).
26. Поскольку $$AB=DC$$, то \(\triangle ABO = \triangle CDO\) по первому признаку, если бы \(\angle BAO = \angle DCO\).
27. Поскольку $$BC=AD$$, то \(\triangle CBO = \triangle ADO\) по первому признаку, если бы \(\angle BCO = \angle DAO\).
28. В равнобедренном $$\triangle ABC$$ с основанием $$AC$$, $$BO$$ — не обязательно медиана или высота.
29. Рассмотрим случай, когда $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равносторонние. Тогда $$AB=BC=AC$$ и $$AD=DC=AC$$.
30. В $$\triangle ABO$$ и $$\triangle CDO$$: $$BO = DO$$ (дано). \(\angle BAO = \angle BCO = 60°\) и \(\angle DCO = \angle DAO = 60°\).
31. Значит, $$\angle BAC = \angle BCA = 60°$$ и $$\angle DAC = \angle DCA = 60°$$.
32. Тогда \(\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 60° + 60° = 120°\) и \(\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 60° + 60° = 120°\).
33. Так как $$AB=CD$$ (потому что все стороны равны $$AC$$), $$BO=DO$$ (дано), и $$\\angle BAO = \\angle DCO = 60°$$, то $$\triangle ABO = \triangle CDO$$ по первому признаку равенства треугольников.
34. Нахождение $$\angle D$$:
35. В $$\triangle ABC$$, $$\angle ABC = 60°$$.
36. В $$\triangle ADC$$, \(\angle ADC = 60°\).
37. \(\angle D = \angle ADC = 60°\).

Замечание: Условия задачи 1 (углы 45°, 55°, 100°) не соответствуют условию, что $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равносторонние. При решении задачи 1 было принято, что $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ — равносторонние, исходя из условия задачи 3, которое связано с задачей 1 по рисунку 5.89.

Ответ: $$\triangle ABO = \triangle CDO$$ по первому признаку равенства треугольников. $$\\angle D = 60°$$.