1) Дано: четырёхугольник BCDE, BC = DE и BC ∥ DE. Доказать: BCDE — параллелограмм.

Проведём диагональ CE.

Так как BC ∥ DE, то ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и DE и секущей CE.

Рассмотрим треугольники BEC и DCE. В них BC = DE по условию, CE — общая сторона, ∠1 = ∠2. Следовательно, ΔBEC = ΔDCE по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что ∠3 = ∠4.

Тогда по признаку параллельности прямых: если накрест лежащие углы 3 и 4 равны, то CD ∥ BE.

Итак, BC ∥ DE и CD ∥ BE. Следовательно, четырёхугольник BCDE по определению является параллелограммом.

Ответ: BCDE — параллелограмм.