1) Дано: четырёхугольник BCDE, BC = DE и BC ∥ DE. Доказать: BCDE — параллелограмм. Проведём диагональ CE. По условию BC ∥ DE, следовательно, ∠1 = ∠2 (накрест лежащие углы при параллельных BC и DE и секущей CE). ΔBEC = ΔDCE по двум сторонам и углу между ними (BC = DE, CE — общая, ∠1 = ∠2), следовательно, ∠3 = ∠4. Тогда по признаку параллельности прямых CD ∥ BE (накрест лежащие углы 3 и 4 равны). Итак, BC ∥ DE и CD ∥ BE, следовательно, четырёхугольник BCDE по определению является параллелограммом. Теорема доказана.

Проведём диагональ CE. По условию BC ∥ DE, поэтому ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и DE и секущей CE.

В треугольниках BEC и DCE: BC = DE по условию, CE — общая сторона, ∠1 = ∠2. Следовательно, ΔBEC = ΔDCE по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что ∠3 = ∠4. Эти углы — накрест лежащие при прямых CD и BE и секущей CE, поэтому CD ∥ BE.

Итак, BC ∥ DE и CD ∥ BE. У четырёхугольника BCDE обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, BCDE — параллелограмм.