1. Дано: D — середина АС, ∠ADF = 90° (рис. 2.74). Доказать: ΔABC — равнобедренный.

Решение:

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC необходимо показать, что две его стороны равны (например, AB = BC) или два угла равны (например, ∠BAC = ∠BCA).

Из условия задачи известно, что D — середина AC, значит, AD = DC. Также дано, что ∠ADF = 90°, что означает, что DF является высотой треугольника ADC. Поскольку DF является высотой и медианой (так как D — середина AC), то треугольник ADC является равнобедренным с AB = BC.

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD.

1. AD = DC (по условию, D — середина AC).
2. ∠ADB = ∠CDB = 90° (так как DF — высота, а точка F лежит на AC, следовательно, DF перпендикулярна AC, и ∠ADB и ∠CDB — это углы, образованные высотой и основанием).
3. BD — общая сторона для обоих треугольников.

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников) ΔABD = ΔCBD. Следовательно, AB = BC. Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный.

Ответ: Доказано.