1) Дано: R = 3 см, AB = 15 см (рис. 8.169). Найти: АК, КВ.

Решение:

На рисунке 8.169 изображена окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°). O — центр вписанной окружности, R — ее радиус. Точки касания окружности со сторонами треугольника — K, N, M. Нам дано R = 3 см и сторона AB = 15 см. Нужно найти АК и КВ.

1. Свойства вписанной окружности:

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника. Следовательно, OK ⊥ AC, ON ⊥ BC, OM ⊥ AB. Так как ∠C = 90°, то четырехугольник OKCM является квадратом со стороной R.

CK = CM = R = 3 см.

2. Отрезки касательных:

Из точки A касательные к окружности — AK и AM. Следовательно, AK = AM.

Из точки B касательные к окружности — BK и BM. Следовательно, BK = BM.

3. Стороны треугольника:

AC = AK + KC = AK + 3

BC = BM + MC = BM + 3

AB = 15 см (дано).

4. Применение теоремы Пифагора:

В прямоугольном треугольнике ABC:

AC² + BC² = AB²

(AK + 3)² + (BM + 3)² = 15²

Заметим, что AB = AK + KB. Значит, 15 = AK + KB.

Также, AC = AK + 3 и BC = BK + 3 (поскольку BM = BK).

Подставляем в теорему Пифагора:

(AK + 3)² + (BK + 3)² = 15²

AK² + 6AK + 9 + BK² + 6BK + 9 = 225

AK² + BK² + 6(AK + BK) + 18 = 225

Поскольку AK + BK = 15, подставляем:

AK² + BK² + 6(15) + 18 = 225

AK² + BK² + 90 + 18 = 225

AK² + BK² + 108 = 225

AK² + BK² = 225 - 108

AK² + BK² = 117

Теперь используем соотношение AK + BK = 15. Возведем его в квадрат:

(AK + BK)² = 15²

AK² + 2 * AK * BK + BK² = 225

Мы знаем, что AK² + BK² = 117. Подставляем:

117 + 2 * AK * BK = 225

2 * AK * BK = 225 - 117

2 * AK * BK = 108

AK * BK = 54

У нас есть система уравнений:

• AK + BK = 15
• AK * BK = 54

Из первого уравнения BK = 15 - AK. Подставляем во второе:

AK * (15 - AK) = 54

15 * AK - AK² = 54

AK² - 15 * AK + 54 = 0

Это квадратное уравнение. Решаем его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно 54. Это числа 6 и 9.

Значит, AK и BK равны 6 см и 9 см (в любом порядке).

Проверка:

Если AK = 9, BK = 6:

AC = AK + 3 = 9 + 3 = 12 см.

BC = BK + 3 = 6 + 3 = 9 см.

AC² + BC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225.

AB² = 15² = 225.

Сходится.

Если AK = 6, BK = 9:

AC = AK + 3 = 6 + 3 = 9 см.

BC = BK + 3 = 9 + 3 = 12 см.

AC² + BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.

AB² = 15² = 225.

Сходится.

Ответ: АК = 6 см, КВ = 9 см (или наоборот).