1. Даны параллельные плоскости α и β. Параллельные прямые a и b пересекают плоскость α в точках A и B, а плоскость β — в точках A₁ и B₁. Докажите, что AB = A₁B₁ и ∠BAA₁ = ∠A₁B₁B.

Проведём плоскость через параллельные прямые a и b. Она пересекает плоскость α по прямой AB, а плоскость β — по прямой A₁B₁.

Так как плоскости α и β параллельны, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны: \(AB \parallel A_1B_1\). Кроме того, \(AA_1\) лежит на прямой a, а \(BB_1\) — на прямой b, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\).

Четырёхугольник ABB₁A₁ — параллелограмм: обе пары его противоположных сторон параллельны. В параллелограмме противоположные стороны равны, а противоположные углы равны.

Следовательно, \(AB=A_1B_1\) и \(\angle BAA_1=\angle A_1B_1B\).