1. Даны точки А (1; 5; 8), В (5; 2; 9), C (7; 4; 7), D (8; 3; 0). Докажите, что прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСD.

Краткая запись:

• Точки: А(1; 5; 8), В(5; 2; 9), C(7; 4; 7), D(8; 3; 0)
• Доказать: AB ⊥ BCD

Пошаговое решение:

1. Находим векторы:
   Вектор \( \vec{AB} \) = (5-1; 2-5; 9-8) = (4; -3; 1).
   Вектор \( \vec{BC} \) = (7-5; 4-2; 7-9) = (2; 2; -2).
   Вектор \( \vec{BD} \) = (8-5; 3-2; 0-9) = (3; 1; -9).
2. Проверяем коллинеарность векторов BC и BD:
   Векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{BD} \) не коллинеарны, так как их соответствующие координаты непропорциональны (2/3 ≠ 2/1 ≠ -2/-9). Следовательно, точки B, C, D образуют плоскость.
3. Проверяем перпендикулярность векторов AB и BC:
   Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (4)(2) + (-3)(2) + (1)(-2) = 8 - 6 - 2 = 0 \).
   Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) перпендикулярны.
4. Проверяем перпендикулярность векторов AB и BD:
   Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BD} = (4)(3) + (-3)(1) + (1)(-9) = 12 - 3 - 9 = 0 \).
   Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BD} \) перпендикулярны.
5. Вывод: Поскольку прямая AB перпендикулярна двум неколлинеарным прямым BC и BD, лежащим в плоскости BCD, то прямая AB перпендикулярна плоскости BCD.