3. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна д, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен а. Найдите объём пирамиды.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Находим сторону основания:
   Основание пирамиды — квадрат. Диагональ квадрата равна \( d = a \sqrt{2} \), где \( a \) — сторона квадрата.
   Отсюда, сторона основания \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \).
2. Находим площадь основания:
   Площадь квадрата \( S_{\text{осн}} = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2} \).
3. Находим высоту пирамиды:
   Двугранный угол при ребре основания равен \( \alpha \). Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды (H), апофемой (h_a) и половиной стороны основания (a/2). Этот треугольник прямоугольный, и угол между основанием (апофемой) и ребром основания равен \( \alpha \).
   В этом треугольнике \( \tan(\alpha) = \frac{H}{a/2} \).
   Отсюда, высота пирамиды \( H = \frac{a}{2} \tan(\alpha) = \frac{d}{2\sqrt{2}} \tan(\alpha) \).
4. Находим объём пирамиды:
   \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{d^2}{2} \cdot \frac{d}{2\sqrt{2}} \tan(\alpha) \)
   \( V = \frac{d^3}{12\sqrt{2}} \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2} d^3}{24} \tan(\alpha) \).

Ответ: $$\frac{\sqrt{2} d^3}{24} \tan(\alpha)$$