1. Даны точки А(2;0;-1), B(3;1;-2), C(4;-7;2), Д(1;4;-5). Найти: а) координаты векторов АВ и СД. Б) 2АВ - 4СД в) косинус угла между векторами АВ и СД.

Решение:

Даны точки: \( A(2;0;-1) \), \( B(3;1;-2) \), \( C(4;-7;2) \), \( Д(1;4;-5) \).

1. Найдём координаты векторов АВ и СД:
   \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 2; 1 - 0; -2 - (-1)) = (1; 1; -1) \)
   \( \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (1 - 4; 4 - (-7); -5 - 2) = (-3; 11; -7) \>
2. Вычислим 2АВ - 4СД:
   \( 2\vec{AB} = 2(1; 1; -1) = (2; 2; -2) \)
   \( 4\vec{CD} = 4(-3; 11; -7) = (-12; 44; -28) \>
   \( 2\vec{AB} - 4\vec{CD} = (2 - (-12); 2 - 44; -2 - (-28)) = (14; -42; 26) \>
3. Найдём косинус угла между векторами АВ и СД:
   Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле: \( \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)
   Сначала найдём скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \):
   \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(-3) + (1)(11) + (-1)(-7) = -3 + 11 + 7 = 15 \)
   Теперь найдём длины векторов:
   \( |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \)
   \( |\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 11^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 121 + 49} = \sqrt{179} \)
   Наконец, вычислим косинус угла:
   \( \cos \alpha = \frac{15}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{179}} = \frac{15}{\sqrt{537}} \>

Ответ: а) \( \vec{AB} = (1; 1; -1) \), \( \vec{CD} = (-3; 11; -7) \); б) \( (14; -42; 26) \); в) \( \frac{15}{\sqrt{537}} \).