2. При каком значении п векторы Ав и сд будут перпендикулярны, если А(1;0;1), B(-2;3;0), C(4;6;п), Д(п;6;-8).

Решение:

Даны точки: \( A(1;0;1) \), \( B(-2;3;0) \), \( C(4;6;п) \), \( Д(п;6;-8) \).

Для перпендикулярности векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) их скалярное произведение должно быть равно нулю: \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \).

Найдем координаты векторов:

\( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 1; 3 - 0; 0 - 1) = (-3; 3; -1) \)

\( \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (п - 4; 6 - 6; -8 - п) = (п - 4; 0; -8 - п) \>

Теперь вычислим скалярное произведение:

\( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-3)(п - 4) + (3)(0) + (-1)(-8 - п) \>

Приравняем скалярное произведение к нулю:

\( -3(п - 4) + 0 + (-1)(-8 - п) = 0 \)

\( -3п + 12 + 8 + п = 0 \)

\( -2п + 20 = 0 \)

\( -2п = -20 \)

\( п = 10 \>

Ответ: при \( п = 10 \).