1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? 2. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. В треугольнике АВС известно, что АВ = BC, угол АВС = 108°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными отрезками.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A'B'C' с прямыми углами C и C' соответственно. Пусть AB = A'B' и \( \angle BAC = \angle B'A'C' \). Проведем в треугольнике ABC биссектрису угла C, разделив его на два угла. Так как \( \angle ABC = 90° \), то \( \angle BAC + \angle BCA = 90° \). Аналогично, \( \angle B'A'C' + \angle B'C'A' = 90° \). Поскольку \( \angle BAC = \angle B'A'C' \) и \( \angle ABC = \angle A'B'C' = 90° \), то по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (по теореме о сумме углов треугольника) \( \triangle ABC = \triangle A'B'C' \).

3. В треугольнике ABC AB = BC, значит, треугольник равнобедренный. Угол ABC = 108°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

\( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \)

\( 2 \angle BCA + 108° = 180° \)

\( 2 \angle BCA = 180° - 108° \)

\( 2 \angle BCA = 72° \)

\( \angle BCA = 36° \)

Ответ: 36°.