1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? 2. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. В треугольнике АВС известно, что АВ = BC, угол АВС = 108°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и A'B'C' с прямыми углами C и C' соответственно. Пусть AB = A'B' (гипотенузы равны) и ∠A = ∠A' (острые углы равны).

Поскольку ∠A = ∠A', то и ∠B = 90° - ∠A = 90° - ∠A' = ∠B'.

Теперь у нас есть два треугольника, у которых равны сторона и два прилежащих к ней угла (AB = A'B', ∠A = ∠A', ∠B = ∠B'). По первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), эти треугольники равны: △ABC = △A'B'C'.

3. В △ABC: AB = BC, значит, треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°

108° + 2∠BCA = 180°

2∠BCA = 180° - 108°

2∠BCA = 72°

∠BCA = 72° / 2 = 36°

Ответ: 36°.