1) Диагональ АС ромба ABCD равна 36, а tg LBCА = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

1. Находим длину стороны ромба.

   В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC, где O - точка пересечения диагоналей.

   BO = AC / 2 = 36 / 2 = 18.

   По условию tg LBCА = 4/3. В треугольнике BOC, tg LBCА = BO / OC.

   18 / OC = 4/3

   OC = (18 * 3) / 4 = 54 / 4 = 13.5.

   Диагональ BD = 2 * OC = 2 * 13.5 = 27.

   Найдем сторону BC по теореме Пифагора в треугольнике BOC:

   BC² = BO² + OC² = 18² + 13.5² = 324 + 182.25 = 506.25.

   BC = √506.25 = 22.5.

2. Находим радиус вписанной окружности.

   Площадь ромба можно найти двумя способами:

   1) S = (AC * BD) / 2 = (36 * 27) / 2 = 18 * 27 = 486.

   2) S = a * h, где h - высота ромба. Также площадь ромба равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на сторону: S = 2 * r * a, где r - радиус вписанной окружности, a - сторона ромба.

   Из формулы S = 2 * r * a выразим радиус:

   r = S / (2 * a)

   r = 486 / (2 * 22.5) = 486 / 45 = 10.8.

Ответ: 10.8