1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, угол ABO равен 36°. Найдите угол AOД. (3 б.)

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому их половины равны: OA = OB. Значит, треугольник AOB равнобедренный, и ∠BAO = ∠ABO = 36°.

∠ABO и ∠ABO? Рассмотрим угол между диагоналями: лучи OA и OB лежат на одной диагонали, а угол AOB дополняет углы при основании треугольника до 180°: ∠AOB = 180° − 36° − 36° = 108°. Смежный с ним угол между лучами OB и OD равен 72°. Искомый ∠AOD — вертикальный к ∠BOC? В обозначениях прямоугольника A, B, C, D по порядку диагонали AC и BD, поэтому ∠AOD образован лучами OA и OD и равен острому углу между диагоналями: 72°.

Ответ: 72°.