1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, \(\angle\) MON = 64°. Найдите угол ОМР.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( \triangle MON \) — равнобедренный, так как \( OM = ON \) (половины равных диагоналей).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \( \angle OMN = \angle ONM \).

Сумма углов в \( \triangle MON \) равна 180°. Поэтому:

\( \angle OMN + \angle ONM + \angle MON = 180° \)

\( 2 \angle OMN + 64° = 180° \)

\( 2 \angle OMN = 180° - 64° \)

\( 2 \angle OMN = 116° \)

\( \angle OMN = \frac{116°}{2} = 58° \)

Углы \( \angle MON \) и \( \angle OMP \) являются вертикальными, поэтому \( \angle OMP = \angle MON = 64° \) (ошибка в условии, углы MON и OMP не вертикальные. Углы MON и KOP вертикальные, а углы MON и POM смежные).

Рассмотрим \( \triangle OMP \). \( OP = OM \) (половины равных диагоналей). Значит, \( \triangle OMP \) — равнобедренный.

\( \angle OMP = \angle OPM \).

Угол \( \angle MOP \) смежный с \( \angle MON \).

\( \angle MOP = 180° - \angle MON = 180° - 64° = 116° \)

Сумма углов в \( \triangle OMP \) равна 180°.

\( \angle OMP + \angle OPM + \angle MOP = 180° \)

\( 2 \angle OMP + 116° = 180° \)

\( 2 \angle OMP = 180° - 116° \)

\( 2 \angle OMP = 64° \)

\( \angle OMP = \frac{64°}{2} = 32° \)

Ответ: \( \angle OMP = 32° \).