1. Докажите, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта A в пункт B со скоростью v₁, а из B в A — со скоростью v₂, меньше либо равна (v₁ + v₂)/2.

Пусть расстояние между пунктами равно \(S\). Автобус проходит путь туда и обратно, поэтому весь путь равен \(2S\), а время движения:

\[t=\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}.\]

Средняя скорость равна:

\[v_{\text{ср}}=\frac{2S}{\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.\]

Сравним её со средним арифметическим скоростей:

\[\frac{v_1+v_2}{2}-\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{(v_1-v_2)^2}{2(v_1+v_2)}\ge 0.\]

Следовательно, \(v_{\text{ср}}\le\frac{v_1+v_2}{2}\). Равенство достигается при \(v_1=v_2\).

Ответ: \(v_{\text{ср}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\le\frac{v_1+v_2}{2}\).