1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим известные стороны как \(a=6\) см и \(b=4\sqrt{2}\) см, а угол между ними как \(C=135^\circ\).

По теореме косинусов:

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\]

Подставим значения:

\[c^2=6^2+(4\sqrt{2})^2-2\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\cos135^\circ.\]

Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\[c^2=36+32-48\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=68+48=116.\]

Следовательно, \(c=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\) см.

Площадь найдём по формуле \(S=\frac12ab\sin C\):

\[S=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\sin135^\circ=12\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}2=12\text{ см}^2.\]

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{29}\) см, площадь — \(12\) см².