1. Две стороны треугольника равны 6 см и \(4\sqrt{2}\) см, а угол между ними — \(135^\circ\). Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\(c^2=6^2+(4\sqrt{2})^2-2\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\cos135^\circ\).

Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем \(c^2=36+32+48=116\), поэтому \(c=2\sqrt{29}\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt{2}\cdot\sin135^\circ\). Поскольку \(\sin135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\), имеем \(S=12\) см².

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{29}\) см, площадь — 12 см².