4. Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен \(60^\circ\). Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+10\) см. По теореме косинусов для стороны 14 см:

\(14^2=x^2+(x+10)^2-2x(x+10)\cos60^\circ\).

Поскольку \(\cos60^\circ=\frac12\), получаем \(196=x^2+(x+10)^2-x(x+10)=x^2+10x+100\).

Отсюда \(x^2+10x-96=0\), то есть \((x-6)(x+16)=0\). Длина положительна, поэтому \(x=6\) см; вторая сторона равна 16 см.

Периметр: \(6+16+14=36\) см.

Ответ: 36 см.