1. Две стороны треугольника равны 6см и 8см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]

Где $$a = 6$$ см, $$b = 8$$ см, $$\gamma = 60^{\circ}$$.

• Находим третью сторону ($$c$$):\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cos 60^{\circ} \]\[ c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} \]\[ c^2 = 100 - 48 \]\[ c^2 = 52 \]\[ c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \text{ см} \]
• Находим площадь треугольника:

  Площадь треугольника вычисляется по формуле:

  \[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \sin 60^{\circ} \]\[ S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ S = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Третья сторона равна $$2\sqrt{13}$$ см, площадь равна $$12\sqrt{3}$$ см².