5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13см, 20см, 21см.

Решение:

Радиус описанной окружности ($$R$$) находится по формуле:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

Где $$a, b, c$$ — стороны треугольника, а $$S$$ — его площадь.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр ($$p$$):

• Находим полупериметр:\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см} \]
• Находим площадь по формуле Герона:\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]\[ S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} \]\[ S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} \]\[ S = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} \]\[ S = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} \]\[ S = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126 \text{ см}^2 \]
• Находим радиус описанной окружности:\[ R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} \]\[ R = \frac{5460}{504} \]\[ R = 10.833... \]

Проверим, является ли треугольник прямоугольным. $$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569$$. $$21^2 = 441$$. Не является.

Проверим, является ли треугольник остроугольным или тупоугольным: $$21^2 < 13^2 + 20^2$$. Следовательно, треугольник остроугольный.

Можно упростить расчет $$R$$:

\[ R = \frac{5460}{504} = \frac{2730}{252} = \frac{1365}{126} = \frac{455}{42} = \frac{65}{6} \text{ см} \]

Ответ: Радиус описанной окружности равен $$\frac{65}{6}$$ см.