1. Футбольная команда «Алтуфьево» по очереди проводит товарищеские матчи с командами «Бибирево» и «Владыкино». В начале каждого матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру, то есть будет первая владеть мячом. Какова вероятность того, что команда «Алтуфьево» по жребию будет начинать хотя бы один матч?

Question

Вопрос:

Фото задания: 1. Футбольная команда «Алтуфьево» по очереди проводит товарищеские матчи с командами «Бибирево» и «Владыкино». В начале…

1. Футбольная команда «Алтуфьево» по очереди проводит товарищеские матчи с командами «Бибирево» и «Владыкино». В начале каждого матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру, то есть будет первая владеть мячом. Какова вероятность того, что команда «Алтуфьево» по жребию будет начинать хотя бы один матч?

Accepted Answer

Решение:

В каждом матче есть два исхода: команда «Алтуфьево» начинает первой (выпадет орёл, если мы загадаем его для «Алтуфьево») или команда «Алтуфьево» начинает второй (выпадет решка).

Вероятность того, что «Алтуфьево» начнёт первый матч, равна $ \frac{1}{2} $.

Вероятность того, что «Алтуфьево» начнёт второй матч, равна $ \frac{1}{2} $.

Нас интересует вероятность того, что команда «Алтуфьево» начнёт хотя бы один матч. Это значит, что она может начать первый матч, или второй матч, или оба матча.

Проще посчитать обратную вероятность: что «Алтуфьево» НЕ начнёт ни одного матча. Это значит, что в обоих матчах первой будет играть другая команда.

Вероятность того, что «Алтуфьево» не начнёт первый матч, равна $ \frac{1}{2} $.

Вероятность того, что «Алтуфьево» не начнёт второй матч, равна $ \frac{1}{2} $.

Вероятность того, что «Алтуфьево» не начнёт ни одного матча (оба раза начнёт другая команда) равна произведению вероятностей: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.

Вероятность того, что «Алтуфьево» начнёт хотя бы один матч, равна 1 минус вероятность того, что она не начнёт ни одного матча:

\[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Можно также перечислить все возможные исходы для двух матчей:

«Алтуфьево» начинает 1-й, «Алтуфьево» начинает 2-й (вероятность $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $)
«Алтуфьево» начинает 1-й, «Алтуфьево» не начинает 2-й (вероятность $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $)
«Алтуфьево» не начинает 1-й, «Алтуфьево» начинает 2-й (вероятность $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $)
«Алтуфьево» не начинает 1-й, «Алтуфьево» не начинает 2-й (вероятность $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $)

Нас устраивают первые три случая. Суммарная вероятность: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

Ответ: $$\frac{3}{4}$$