1) K ∈ β, M ∈ α, N ∈ α, α ∩ β = l. Побудуйте прямі перетину площини MNK з площинами α і β.

Решение:

Чтобы построить прямые пересечения плоскости MNK с плоскостями α и β, нужно найти две общие точки для каждой пары плоскостей.

1. Пересечение плоскости MNK с плоскостью α:
   Точки M и N уже принадлежат плоскости α. Следовательно, прямая MN является линией пересечения плоскости MNK и плоскости α.
2. Пересечение плоскости MNK с плоскостью β:
   Точка K принадлежит плоскости β. Необходимо найти еще одну точку, принадлежащую как плоскости MNK, так и плоскости β.

Построение:

1. Через точку M (принадлежит α) и K (принадлежит β) проведите прямую. Эта прямая не обязательно будет линией пересечения.

2. Рассмотрим линию пересечения плоскостей α и β, которая обозначена как прямая l. Найдите точку пересечения прямой MN (которая лежит в α) с прямой l. Обозначим эту точку как P. Точка P принадлежит как плоскости MNK, так и плоскости α. Так как прямая l является пересечением α и β, точка P также принадлежит плоскости β.

3. Найдите точку пересечения прямой MK (которая лежит в MNK) с прямой l. Обозначим эту точку как Q. Точка Q принадлежит как плоскости MNK, так и плоскости α. Так как прямая l является пересечением α и β, точка Q также принадлежит плоскости β.

4. Линия пересечения плоскости MNK с плоскостью α — это прямая MN.

5. Линия пересечения плоскости MNK с плоскостью β — это прямая, проходящая через точки K и P.

Итоговая запись:

Линия пересечения плоскости MNK и плоскости α — прямая MN.

Линия пересечения плоскости MNK и плоскости β — прямая KP.