1. Какие действия можно выполнять над векторами и как они обозначаются?

Решение:

Над векторами можно выполнять следующие действия:

• Сложение векторов: Обозначается как \(\vec{a} + \vec{b}\). Выполняется по правилу треугольника, параллелограмма или путем сложения соответствующих координат: \(\vec{a} = (a_x, a_y)\), \(\vec{b} = (b_x, b_y)\), тогда \(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\).
• Вычитание векторов: Обозначается как \(\vec{a} - \vec{b}\). Может быть сведено к сложению с противоположным вектором: \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\). По координатам: \(\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y)\).
• Умножение вектора на число: Обозначается как \(k \cdot \vec{a}\) или \(k\vec{a}\). Результат — вектор, коллинеарный исходному, длина которого равна \(|k| \cdot |\vec{a}|\). По координатам: \(k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y)\).
• Скалярное произведение векторов: Обозначается как \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Результат — число. Вычисляется по формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\), где \(\alpha\) — угол между векторами, или через координаты: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\).

Ответ: Сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение. Обозначения: \(\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{a} - \vec{b}\), \(k\vec{a}\), \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).