1. Материальная точка движется вдоль оси Ox, а проекция ее скорости изменяется по закону vₓ(t) = −2 + t. Найдите модуль перемещения материальной точки и пройденный путь за 4 с.

Скорость меняет знак при −2 + t = 0, то есть при t = 2 с. Поэтому на отрезках от 0 до 2 с и от 2 до 4 с точка движется в противоположных направлениях.

Перемещение за 4 с равно интегралу скорости:

\[\Delta x=\int_0^4(t-2)\,dt=\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_0^4=0.\]

Модуль перемещения равен 0 м. Путь складывается из модулей перемещений на двух участках. На каждом участке скорость изменяется линейно, поэтому площади под графиком модуля скорости — треугольники:

\[s=\frac{2\cdot2}{2}+\frac{2\cdot2}{2}=4\text{ м}.\]

Ответ: модуль перемещения — 0 м; путь — 4 м.