1. Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.

Пусть AM — медиана, а углы между AM и сторонами AB и AC равны соответственно 40° и 70°. Обозначим длину AM через m.

1. Так как BM = CM, векторы AB и AC в сумме дают удвоенный вектор AM. Рассмотрим их составляющие вдоль AM и перпендикулярно AM.
2. Из равенства перпендикулярных составляющих получаем AB · sin 40° = AC · sin 70°, поэтому AC = AB · sin 40° / sin 70°.
3. Сложим составляющие вдоль AM: 2m = AB · cos 40° + AC · cos 70°. Подставляя выражение для AC, получаем 2m = AB · (cos 40° + sin 40° · cos 70° / sin 70°) = AB · sin 110° / sin 70°.
4. Поскольку sin 110° = sin 70°, имеем 2m = AB.

Ответ: медиана равна половине стороны, образующей с ней угол 40°.