2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите ∠ABC, если ∠BAC = 30°, а ∠BMC = 45°.

Обозначим ∠BCA через x. Так как M лежит на AC, ∠BCM = x, а ∠MBC = 180° − 45° − x = 135° − x.

1. Угол ABC равен сумме углов ABM и MBC, поэтому ∠ABM = ∠ABC − (135° − x). Поскольку ∠ABC = 150° − x, получаем ∠ABM = 15°.
2. В треугольнике ABM по теореме синусов BM / AM = sin 30° / sin 15°. Так как BM — медиана, AM = CM.
3. В треугольнике BMC по теореме синусов BM / CM = sin x / sin(135° − x). Приравнивая отношения, получаем sin x / sin(135° − x) = sin 30° / sin 15°.
4. При x = 105° равенство выполняется: sin 105° / sin 30° = sin 30° / sin 15°. Значит, ∠BCA = 105°, а ∠ABC = 180° − 30° − 105° = 45°.

Ответ: ∠ABC = 45°.