1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён треугольник KOS. Найдите сумму углов KOS и KSO. Ответ дайте в градусах

Задача 1

Привет! Чтобы найти сумму углов KOS и KSO, нам нужно сначала определить координаты точек K, O и S. Так как клетки имеют размер 1х1, мы можем считать, что:

• Точка O находится в начале координат (0, 0).
• Точка K находится в (1, 2).
• Точка S находится в (0, -1).

Теперь найдем векторы, соответствующие сторонам углов:

• Вектор OK = (1 - 0, 2 - 0) = (1, 2)
• Вектор OS = (0 - 0, -1 - 0) = (0, -1)
• Вектор SO = (0 - 0, 0 - (-1)) = (0, 1)
• Вектор SK = (1 - 0, 2 - (-1)) = (1, 3)

Далее, воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos \alpha = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|a| \cdot |b|} \]

Для угла KOS:

• \[ \vec{OK} = (1, 2) \]
• \[ \vec{OS} = (0, -1) \]
• \[ \vec{OK} \cdot \vec{OS} = (1 \cdot 0) + (2 \cdot -1) = -2 \]
• \[ |OK| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]
• \[ |OS| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1 \]
• \[ \cos(\angle KOS) = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 1} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \]
• \[ \angle KOS = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 153.43^{\circ} \]

Для угла KSO:

• \[ \vec{SK} = (1, 3) \]
• \[ \vec{SO} = (0, 1) \]
• \[ \vec{SK} \cdot \vec{SO} = (1 \cdot 0) + (3 \cdot 1) = 3 \]
• \[ |SK| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
• \[ |SO| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \]
• \[ \cos(\angle KSO) = \frac{3}{\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]
• \[ \angle KSO = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \approx 18.43^{\circ} \]

Сумма углов KOS и KSO:

• \[ \angle KOS + \angle KSO \approx 153.43^{\circ} + 18.43^{\circ} \approx 171.86^{\circ} \]

Ответ: Примерно 171.86 градусов.