1. На окружности взяты точки M, N, К так, что дуга MN больше дуги NK на 45°, а дуга МК больше дуги NK в 7 раз. Найдите величины этих дуг.

Решение:

1. Обозначим: Пусть величина дуги NK равна x.
2. Условие 1: Дуга MN больше дуги NK на 45°, значит, MN = x + 45°.
3. Условие 2: Дуга МК больше дуги NK в 7 раз, значит, МК = 7x.
4. Полная окружность: Сумма всех дуг в окружности равна 360°. В данном случае, дуги MN, NK и MK составляют полную окружность.
5. Составим уравнение:

   \[ (x + 45^{\circ}) + x + 7x = 360^{\circ} \]

6. Решим уравнение:

   \[ 9x + 45^{\circ} = 360^{\circ} \]

   \[ 9x = 360^{\circ} - 45^{\circ} \]

   \[ 9x = 315^{\circ} \]

   \[ x = \frac{315^{\circ}}{9} \]

   \[ x = 35^{\circ} \]

7. Найдем величины дуг:
   • Дуга NK = x = 35°.
   • Дуга MN = x + 45° = 35° + 45° = 80°.
   • Дуга МК = 7x = 7 * 35° = 245°.

Проверка: 35° + 80° + 245° = 360°.

Ответ: Дуга NK = 35°, Дуга MN = 80°, Дуга МК = 245°.