1. На рисунке 204 окружность с центром О касается сторон угла MKN в точках M и N. Найдите ∠MKN и расстояние MN, если OM = √3 см, KM = 3 см.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что OM является радиусом окружности. Так как OM ⊥ KM (поскольку окружность касается стороны угла в точке M), то треугольник OKM является прямоугольным.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике OKM, OM = √3 см (катет) и KM = 3 см (катет). Найдем угол ∠MKO. Используем тангенс: \( \tan(\angle MKO) = \frac{OM}{KM} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Следовательно, \( \angle MKO = 30° \).
3. Шаг 3: Так как KN и KM — отрезки касательных, проведенных из точки K к окружности, то OK является биссектрисой угла ∠MKN. Следовательно, \( \angle MKN = 2 \cdot \angle MKO = 2 \cdot 30° = 60° \).
4. Шаг 4: Треугольник OMN равнобедренный (OM = ON = √3, радиусы). Угол ∠MON можно найти, если знать ∠OKM. Однако, для нахождения MN, нам нужен угол ∠MON. Рассмотрим треугольник OKN. Он также является прямоугольным, и KN = KM = 3 см. OK — биссектриса ∠MKN.
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике OKN, ∠NKO = 30°, KN = 3 см. Найдем ON: \( \tan(\angle NKO) = \frac{ON}{KN} \). \( \tan(30°) = \frac{ON}{3} \). \( ON = 3 \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \) см.
6. Шаг 6: Теперь найдем MN. В треугольнике OMN, OM = ON = √3. Угол ∠MON = ∠MKO + ∠NKO = 60° (если OK — биссектриса ∠MKN). Нет, это не так. Угол ∠MON = 180° - ∠OKM - ∠OKN. Мы знаем, что ∠OKM = ∠OKN = 30°. Значит ∠MON = 180° - 30° - 30° = 120°.
7. Шаг 7: В равнобедренном треугольнике OMN, используя теорему косинусов для нахождения MN: \( MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2  OM  ON  \cos(\angle MON) \). \( MN^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2  \sqrt{3}  \sqrt{3}  \cos(120°) \). \( MN^2 = 3 + 3 - 2  3  (-\frac{1}{2}) \). \( MN^2 = 6 + 3 = 9 \). \( MN = \sqrt{9} = 3 \) см.

Ответ: ∠MKN = 60°, MN = 3 см.