3. Стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром О. а) Найдите ОА, если r=5 см, ∠A=60°; б) Найдите r, если ОА=14 дм, ∠A=90°.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• а) Найдите ОА, если r=5 см, ∠A=60°
• Шаг 1: Проведем из центра окружности О перпендикуляр к одной из сторон угла А (точке касания, например, M). OM будет радиусом окружности, то есть OM = r = 5 см.
• Шаг 2: Отрезок ОА соединяет центр окружности с вершиной угла А. По свойству касательных, ОА является биссектрисой угла А. Следовательно, \( \angle OAM = \frac{\angle A}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \).
• Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМА (так как OM ⊥ AM). В этом треугольнике нам известна сторона OM (катет) и угол \( \angle OAM \). Нам нужно найти гипотенузу ОА.
• Шаг 4: Используем синус угла \( \angle OAM \): \( \sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA} \).
• Шаг 5: Подставляем известные значения: \( \sin(30°) = \frac{5}{OA} \).
• Шаг 6: Так как \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{2} = \frac{5}{OA} \).
• Шаг 7: Отсюда находим ОА: \( OA = 5  2 = 10 \) см.
• б) Найдите r, если ОА=14 дм, ∠A=90°
• Шаг 8: Угол А равен 90°, то есть стороны угла А перпендикулярны. Окружность касается сторон угла А.
• Шаг 9: Отрезок ОА является биссектрисой угла А. Так как \( \angle A = 90° \), то \( \angle OAM = \frac{90°}{2} = 45° \).
• Шаг 10: Проведем радиус ОМ к точке касания М на стороне угла А. ОМ ⊥ АМ, поэтому треугольник ОМА — прямоугольный.
• Шаг 11: В прямоугольном треугольнике ОМА, \( \angle OAM = 45° \), а гипотенуза ОА = 14 дм. Мы ищем радиус r = ОМ.
• Шаг 12: Используем синус угла \( \angle OAM \): \( \sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA} \).
• Шаг 13: Подставляем значения: \( \sin(45°) = \frac{r}{14} \).
• Шаг 14: Так как \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{14} \).
• Шаг 15: Находим r: \( r = 14  \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \) дм.

Ответ: а) ОА = 10 см; б) r = 7√2 дм.